150 分で学ぶ高校数学の基礎
[重要なお知らせ (2023/8/12)] 現在，スライドの p.10 に不十分な記述があります．ルートの答えは 0 以上の数に限定することに注意してください (たとえば -3 を 2 乗しても 9 ですが，ルート 9 は -3 ではありません)．なお，現在筆者のパソコンが修理中でデータがないので，修正は 1 週間後となります． [目次] 第1章 数学の基礎知識（p.5～） 第2章 場合の数（p.31～） 第3章 確率と期待値（p.56～） 第4章 統計的な解析（p.69～） 第5章 いろいろな関数（p.103～） 第6章 三角比と三角関数（p.141～） 第7章 証明のやり方（p.160～） 第8章 ベクトル（p.187～） 第9章 微分法と積分法（p.205～） 第10章 その他のトピック（p.240～） スライドのまとめ（p.254～）
ノルムの意味とL1，L2，L∞ノルム | 高校数学の美しい物語
nnn 次元ベクトルは（この記事では）実数を nnn 個並べたものだと考えて下さい。 高校数学で習う2次元ベクトル（平面ベクトル），3次元ベクトル（空間ベクトル）の一般化です。 （実数上のベクトル空間 VVV に対して） 任意の xundefined,yundefined∈V\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in Vx,y∈V と任意の実数 aaa に対して以下の3つの性質を満たす関数 ∥∗∥\|*\|∥∗∥ をノルムと呼ぶ： ∥xundefined∥=0 ⟺ xundefined=0undefined\|\overrightarrow{x}\|=0\iff \overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}∥x∥=0⟺x=0 ∥axundefined∥=∣a∣∥xundefined∥\|a\overrightarro
今起きている革命、「因果革命」とは - Qiita
みなさまは"The Causal Revolution" (因果革命)という言葉を聞いたことがあるでしょうか？ 私は今月(2021年6月)に初めて知りました。Google Trendsでもデータ不足によりトレンドが表示されません。 つまりまだ全然マイナーな概念で、聞いたことがないほうが自然かと思われますが、これは「来る」と確信したため本記事を投稿しました。この確信の根拠の箇所を記事中で太字で書いた他、最後にもまとめたため、本記事を読む価値がありそうかの判断には先にそちらを読んでもらってもいいかもしれません。しかしながら、因果革命ないし統計的因果推論は学ぶ価値のある分野です。本記事を読まなくても下記に挙げた書籍を未読の方はぜひ一読してみてください。Qiitaでも因果推論についての記事はいくつもあります。しかし、私が感動した点を明示化した記事は見当たらなかったため本記事を投稿しました。 この記
高速逆平方根(fast inverse square root)のアルゴリズム解説 - 滴了庵日録
高速逆平方根とは？ C言語のコード 検証 アルゴリズムの要点 [1] 逆平方根の計算を対数・指数の計算に置き換える [2] 浮動小数点型の内部表現を利用した対数・指数の近似計算 [2.1] 対数の近似 [2.2] σの最適値 [2.3] 整数型での解釈 [2.4] 逆平方根の計算とマジックナンバー0x5F3759DF [3] ニュートン法による収束で精度アップ 感想 高速逆平方根とは？ 高速逆平方根(fast inverse square root)とは、平方根の逆数 を高速に計算するアルゴリズムです。平方根の逆数は逆平方根とも呼ばれます。逆平方根はベクトルの正規化などに用いられるので、これを高速に計算できるアルゴリズムには大きなご利益があります。 参照： Fast inverse square root - Wikipedia C言語のコード 高速逆平方根の関数を示します。0x5F375
数学ガールオタクが初見VTuberの積分配信にめちゃくちゃ感動したメモ1｜kqck
私はタイムラインとトレンドを一切見ないタイプのツイ廃なので、流行の話題に乗り遅れることが多々ある。（それでいいと受け入れている） そのため「不登校だった（？）VTuberが積分についてイチから勉強する配信」が少し前に話題になっていたらしいと今さら知った。 私はVTuberのオタクではない。ときどきのらきゃっとさんの放送を観るくらいで、今をときめくホロライブとかにじさんじについては何も知らない。 ただ、私は数学ガールのオタクである。 数学ガールとは、ラノベ風の数学読み物シリーズだ。ラノベと言っても、扱う数学は高校〜大学レベルかそれ以上と、ガチである。（派生した『数学ガールの秘密ノート』シリーズでは中学〜高校レベルの易しい内容を扱っている） 私は本当に数学ガールシリーズが好きで好きでたまらなく、約1年前からはレビュアーとして出版前の原稿を読ませて頂いている。だから「著者からの回し者とかではござ
空間曲線の単位接線ベクトル - 基礎からの数学入門
ここでは、空間曲線で接線ベクトルがどのように表されるか説明します。 これまで位置ベクトルといえば \(x(t)\), \(y(t)\), \(z(t)\) で これまで多くの場合では 3 次元空間での位置ベクトルは xyz の直交座標系で位置を決めていたと思います。 例えば、\(t\) を媒介変数として、\(x = x(t)\)、\(y = y(t)\)、\(z = z(t)\) とした場合、曲線上の任意の点の位置ベクトル \(\overrightarrow{r}\) は \(x\)、\(y\)、\(z\) の基底ベクトルをそれぞれ \(\overrightarrow{i}\)、\(\overrightarrow{j}\)、\(\overrightarrow{k}\) として、次のようになりました。 \[ \overrightarrow{r} = x(t) \overrightarrow{
曲率と曲率半径 [物理のかぎしっぽ]
曲線が曲がっているとき，その局所的な曲がり具合を円に近似することができます．その円の半径を 曲率半径 ， 曲率半径の逆数を 曲率 と言います．すでに フレネ＝セレの式 で，曲率は として登場していますが，この記事ではまず，曲率を高校数学の範囲でも分かるように古典的に導いてみたいと思います． 読者の多くの方が，微積分の勉強で，曲線の微小部分を接線で近似する，という見方に触れたことがあると思います．曲線を直線で近似とはずいぶん乱暴な話ですが，これは一番簡単な近似で，一次近似とも言うべきものです． もう少し曲がり具合を表現しようと頑張ってみたのが，曲がり具合を円弧で近似する二次近似です．それでも，一般の複雑な曲線の曲がり具合を表現するには簡単すぎますが，直線よりかは大分ましでしょう．曲率を，曲線の曲がり具合の二次近似だと考えると少し見通しが良くなると思います．最初のセクションではベクトルを使いま
曲率・曲率半径の感覚的な意味と求め方 | 高校数学の美しい物語
二階微分可能な曲線 y=f(a)y=f(a)y=f(a) は (a,f(a))(a,f(a))(a,f(a)) 付近で円に近似できます。その円を曲率円，半径を曲率半径と言います。曲率半径が大きいほどカーブはゆるいです。 曲率は曲率半径の逆数です。曲線の（局所的な）曲がり具合を表します。曲率が大きいほどカーブは急です。 直線の場合（曲がっていない場合）曲率は 000，曲率半径は ∞\infty∞ とみなせます。 このページでは，二階微分可能な曲線を考えます。y=∣x∣y=|x|y=∣x∣ の x=0x=0x=0 など，とがった点では円弧で近似できないので曲率は定義されません。 曲率がどの点でも一定な曲線は円です。曲率の変化率が一定であるような曲線はクロソイド曲線と呼ばれるものです。→クロソイド曲線の性質とその証明 y=f(x)y=f(x)y=f(x) の点 A(a,f(a))A(a,f(a)
フーリエ級数展開は関数の座標を決めている｜Dr. Kano
ほとんどの工学部の学生はフーリエ級数展開を学ぶと思うが，これが何をしているかということを，イメージを持って理解しておいて欲しい．というのも，何の因果か，大学３回生を対象にした，フーリエ級数展開やフーリエ変換の講義を担当しているからだ．これらに限らず，数学を勉強するときは，イメージを持つことが大切だ．式変形ができても，そのイメージを持てていないと，実際に使うのは難しい． あなたが今いる場所はｘ，ｙ，ｚの３つの座標 (x, y, z) で表現できる．この３つの座標を使うと，他の誰かの場所も特定できる．我々は３次元空間に生きているからだ．２人がどれだけ離れているかは距離を計算すればわかる．（時間は無視） さて，関数 f(x) も無限に存在する．x の多項式であったり，指数関数であったり，三角関数であったり，何でもありだ．それらの関数はどの程度似ていて（近くて），どの程度異なる（遠い）のだろうか．
現代数学で最重要の難問「ABC予想」を証明、論文掲載へ 京大・望月教授、8年越しで専門誌に（京都新聞） - Yahoo!ニュース
現代数学で最も重要な難問とされる「ABC予想」を証明したとする京都大数理解析研究所の望月新一教授の論文が、同研究所の編集する専門誌「PRIMS」に掲載されることが3日までに決まった。論文はインターネット上に2012年から公開されていたが、8年越しで専門誌に掲載されることとなる。 【写真】京大に看板「中止だ中止！」 整数では足し算と掛け算ができるが、ABC予想はその二つの演算の絡み合い方に関する問題。1980年代に欧州の数学者たちに提唱された。ABC予想の成立を仮定すると、多くの未解決の予想が証明されるため重要な問題とされてきた。論文は四つあり、計約600ページに上る。 PRIMSの編集委員長は望月教授だが、同研究所の柏原正樹教授と玉川安騎男教授が共同編集委員長となり、望月教授を除いた特別編集委員会をつくって今回の論文を審査した。 望月教授は発表したコメントで、証明の難しさについて「既存の数
テイラーの定理の例と証明 | 高校数学の美しい物語
閉区間 [a,x][a,x][a,x] で nnn 回微分可能な関数 fff について， f(x)=∑k=0n−1f(k)(a)(x−a)kk!+f(n)(c)(x−a)nn!f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}f^{(k)}(a)\dfrac{(x-a)^{k}}{k!}+f^{(n)}(c)\dfrac{(x-a)^n}{n!}f(x)=k=0∑n−1f(k)(a)k!(x−a)k+f(n)(c)n!(x−a)n を満たす c (a<c<x)c\:(a <c <x)c(a<c<x) が存在する。
物理数学：テイラー展開
テイラー展開とは何か テイラー展開は便利だし,良く使われるテクニックである.その意味も計算方法もとても簡単だ.細かな注意点は後にして,まず式から書いてしまおう. ちょっと複雑に見えるかも知れないが,説明を加えればすぐに意味をつかんでもらえるだろう. 自分はある点における関数の振舞いについては良く知っているとする.この式の右辺にはやらやらやらが出ているだろう.これらは全てでの値である.つまりにおけるこの関数の値,この関数のグラフの傾きの値,2 階微分の値,3 階微分の値・・・,そういった情報はみんな持っているのだとする. それらの「溢れんばかりの情報」を使って,からわずかに離れた地点での関数の値を言い当てることができるか,というのが与えられたテーマである.さあ,このような「直接的ではない情報」をどう活用したらいいのか？なんと,(1) 式の右辺のように計算すれば,それができるというのである.
平均値の定理の意味・証明・応用例題２パターン | 高校数学の美しい物語
a=1,b=3,f(x)=x2a=1,b=3,f(x)=x^2a=1,b=3,f(x)=x2 として平均値の定理を使ってみましょう。f′(x)=2xf'(x)=2xf′(x)=2x なので，平均値の定理は 32−123−1=2c\dfrac{3^2-1^2}{3-1}=2c3−132−12=2c を満たす ccc が 111 と 333 の間に存在する となります。実際，上の式を変形すると c=2c=2c=2 となり，式を満たす ccc が 111 と 333 の間にありました。 平均値の定理は一見複雑ですが，「傾き」という図形的な意味を考えれば理解しやすいです。平均値の定理の式 f(b)−f(a)b−a=f′(c)\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)b−af(b)−f(a)=f′(c) について， 左辺は (a,f(a))(a,f(a))(a,f(a)) と (b
Microsoft Word - 数実研レポート「高校生のための不動点定理」.doc
「高校生のための不動点定理」 北海道札幌国際情報高等学校 和 田 文 興 はじめに 第 14 回北海道高等学校数学コンテストの第 5 問に、 「縮小写像の不動点定理」を題材にした問題を出題し ました。問題の背景にあるこの定理の１次元の場合を、高校生の読み物としてプリントにしましたので紹介 します。 十年くらい前に北海道算数数学教育会高等学校部会第 59 回大会で発表したものとは違った方法をと り、証明を工夫して高校生向けにしました。また，高校生が自習用としても学べるように、単に「定義」 ， 「定 理」 、 「証明」の羅列ではなく、例題や練習、問題も取り入れて、理解しやすいようにしたつもりです。 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 以下は高校生の読み物としてつくったプリントです ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 縮小写像の不動点定理 ここでは、 「帰納的に定義された数列の極限値を求める方法」の背後にある定理につ
文学部生のための数学・物理学のブックリスト（Book List） - Kohei Morita
このリストは文系の人が数学や物理学を勉強するための本の案内です．あくまで，個人的に勉強になったものを並べているだけで，もちろん網羅的ではありません．やたらと並んでいることからわかるように，いろんな本を読んでは挫折して，凹んだりしていました．優秀ならこんなにいっぱい挙げなくていいのだろうと思います．ここから下は，挫折と失敗の個人的な記録です． 更新履歴2019/12/07 後悔と公開2019/12/17 物理学の項目に最低限必要だと思われる数学の内容を加筆・Susskindのことを忘れていたので，古典力学の項目を作りそこに加筆．2019/12/19 注意に加筆．あと，発表したWSのリンク足した．タイポの修正（随時なのでもう書かない）2020/7/12 「ヨビノリ」をお勧めに追加． 注意哲学の本がそうであるように，数学・物理学の本にも読み方はあります．読み方の違いは決して小さくないと思います．
実生活で虚数が使われる事例にはどんなものがありますか？
回答 (12件中の1件目) まず最初に強調しておきたいことは、よくある誤解として、【虚数とは「存在しない数」で、ある種の物理モデルを計算する道具として有用である】というものがあります。理系の学生でさえも平気でこういうこと言う人が多いですから、教育って何やってるの？といつも思いますが、どうも教える側にも「虚数は計算の利便性のためにだけ存在している」と勘違いしている、あるいはそのように信奉したい人種が存在するようで問題はかなり根深いです。 数に存在する、存在しないもありません。じゃあ、「マイナス」は存在する数と認めるのか？「ゼロ」は存在する数と認めるのか？「割り切れない数」は存在する数と認...
『わけがわかる機械学習』中谷秀洋（著）の書評 - StatModeling Memorandum
僕が中谷さんと初めて会ったのはみどりぼんの読書会で、初めて話したのは岩波DSの打ち合わせだったと思います。今でもそんなに親しくはないと思います。しかし、中谷さんのブログは10年ぐらい前から読んでいました。自然言語処理を中心とする機械学習に関連する理論（の解釈）・論文レビュー・数値実験の記事が多く、他のブログでは見られない独特かつ理解の深い内容で、毎日勉強させてもらっていました。今でも何度も読むべきブログです。その中谷さんが機械学習についてまるごと一冊書いたものが本書になります。もともと買うつもりでしたが、献本いただいたので簡単にご紹介いたします。 わけがわかる機械学習 ── 現実の問題を解くために、しくみを理解する 作者: 中谷秀洋出版社/メーカー: 技術評論社発売日: 2019/08/28メディア: 単行本（ソフトカバー）この商品を含むブログを見る 目次は以下になります。 0章： はじめ
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曲率と曲率半径 - epii's physics notes
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ベクトルの内積と外積の意味と嬉しさ | 高校数学の美しい物語
