n番目のカタラン数 f[n] は、f[n]=2nCn-2nC(n-1) と書けます。 カタラン数の数列の母関数をF(x)とします。 つまり、 F(x)=f[0]+f[1]x+f[2]x^2+f[3]x^3+…… ということです。 カタラン数の性質より、F(x)は F(x)=1+xF(x)^2 を満たします。 そのことを一般化して、 g[n]=(kn)Cn+(1-k)×(kn)C(n-1) の数列の母関数G(x)が、 G(x)=1+xG(x)^k を満たすこと に気付きました。 具体例として k=3 のときを見ます。 g[n]=3nCn-2×3nC(n-1) なので g[0],g[1],g[2],g[3],g[4],…… は 0C0-2×0C(-1) , 3C1-2×3C0 , 6C2-2×6C1 , 9C3-2×9C2 , 12C4-2×12C3 ,…… です。計算すると 1,1,3,12