カタラン数が2nＣn－2nＣn-1で表せることの拡張 - 数が降る街n番目のカタラン数 f[n] は、f[n]＝2nＣn－2nＣ(n-1) と書けます。 カタラン数の数列の母関数をF(x)とします。 つまり、 F(x)＝f[0]＋f[1]x＋f[2]x^2＋f[3]x^3＋…… ということです。 カタラン数の性質より、F(x)は F(x)＝1＋xF(x)^2 を満たします。 そのことを一般化して、 g[n]＝(kn)Ｃn＋(1-k)×(kn)Ｃ(n-1) の数列の母関数G(x)が、 G(x)＝1＋xG(x)^k を満たすこと に気付きました。 具体例として k＝3 のときを見ます。 g[n]＝3nＣn－2×3nＣ(n-1) なので g[0],g[1],g[2],g[3],g[4],…… は 0Ｃ0－2×0Ｃ(-1) , 3Ｃ1－2×3Ｃ0 , 6Ｃ2－2×6Ｃ1 , 9Ｃ3－2×9Ｃ2 , 12Ｃ4－2×12Ｃ3 ,…… です。計算すると 1,1,3,12
