TechCrunchBluesky’s most prominent backer has left its board. On Saturday, Jack Dorsey posted on X about grants for open protocols from his philanthropic Start Small initiative. This prompted someone to ask D
有限体上の楕円曲線とヤコブスタール和 - tsujimotterのノートブック
前回の記事から引き続き、代数曲線の での解の個数 について思いを馳せたいと思います。 前回の記事はこちら： tsujimotter.hatenablog.com なお今回の内容は、前回の記事の内容をまったく読んでいなくても理解できる内容となっています。 今回は、 を素数とし、有限体 上定義された楕円曲線 （ は3次関数） の解の個数 について考えます。楕円曲線の仮定（非特異性）より は重根を持たないとします。 具体例の計算 雰囲気を掴むために、少しだけ例を計算します。具体的には として考えましょう。 としたとき、 のすべての組を代入すると が成り立ちます。それ以外の組み合わせでは、等号（ の合同のこと）は成り立ちません。 これに無限遠点 を加えたものが、 上の楕円曲線 の有理点です。よって となります。したがって、 ということになりますね。 ほかにもたとえば、 のとき のすべての組を代入す
「1/6公式」とベータ関数・超幾何関数 - tsujimotterのノートブック
前回のtsujimotterのノートブックでは ベータ関数 が登場しましたが、ベータ関数にはもう少し親しみやすい導入があります。それが高校数学でいわゆる 1/6公式 と呼ばれる積分の公式です。 このブログでも何度か登場した 超幾何関数 も関係します！お楽しみに！ なお、今回の記事の内容は、すどさんと黒木玄さんの一連のツイートに影響を受けて書いたものです。ツイートのリンクは記事の最後にまとめて紹介しております。 本記事の内容は、お二方の元ツイートだけを読んでも十分理解できるものとなっております。しかしながら、自分で計算してみて面白くなり、やはり自分の言葉でもまとめてみたいと思うようになりました*1。とても楽しい話題を提供してくださったすどさん、黒木玄さんに感謝しつつ、執筆させていただきます。 tsujimotterのノートブックで「ベータ関数」の話題が登場したばかりですので、タイミング的にも
[プレスリリース] 研究成果発表（伊藤一般教養部講師）
新たな結び目理論で「微分」の概念を刷新 —圏論化による結び目ホモロジーで量子論への更なる応用が期待— 本校教員と東大研究員のペア、20年の沈黙を破る結果を出す ２０２０年６月２４日 【概要】 紐全体の構造を調べるのに有効な微分理論が21世紀の量子論に対応して、どのように観察・観測されるかあらゆる科学で知られていませんでした。ところが、それは量子次数というものを動かさない「紐の交差交換[mfn]「紐の接ぎ替え」の項を参照のこと。[/mfn]」(紐の接ぎ替え[mfn]２つの紐を使って机などに十字を重ねて交差を作るとき、この交差１つに対して、交差をなす紐の上下を接ぎ替えにより入れ替えることを専門用語で「交差交換」という。言い換えるなら、紐の接ぎ替え、である。[/mfn])における空間列だということを、今回、数学によって初めて突き止め（図１の三角構造）、さらには物理量となる新しい「結び目ホモロジー
Unityとレイマーチングを用いた射影平面上の二次曲線の可視化 - hibitの技術系メモ
Unityとレイマーチングを用いた射影平面上の二次曲線の可視化 Visualization of conic curve on projective plane using Unity and Raymarching hibit 概要 二次曲線（楕円，放物線，双曲線）は3次元空間上の円錐に対して投影方向を変えた断面であると解釈できる．筆者は，ゲーム用ミドルウェアであるUnity上で，レイマーチングと呼ばれる技術を用いることにより，3次元空間上の円錐断面がある平面上で二次曲線になる様子，そしてその角度が変化する様子をリアルタイムに観察できるVR空間を作成し，それをVRゲーム「VRChat」上のワールドとして公開した．これにより，それぞれ別の形をしているように見える二次曲線が，射影平面上では無限遠を介して1つの円に対応していることを可視化した． 緒言 以下，射影平面と二次曲線についての概説を記
Optimizing with constraints: reparametrization and geometry.
When training machine learning models, and deep networks in particular, we typically use gradient-based methods. But if we require the weights to satisfy some constraints, things quickly get more complicated. Some of the most popular strategies for handling constraints, while seemingly very different at first sight, are deeply connected. In this post, we will explore these connections and demonstr
無理関数の不定積分と双曲線、微分形式 - tsujimotterのノートブック
今日考えたいのは、 や というタイプの積分です。 いわゆる無理関数の積分と呼ばれるもので、大学受験でも難関大学の問題として登場するみたいですね。 今回の記事のきっかけとなったのは、清さんによる以下のツイートです： 【清史弘からの提案 7 】 教育系YouTuber の人に向けて、このような動画はどうですか? という内容です。もちろん、YouTuber でない方もご参加ください。 私の考え方は24時間以内にあげようと思っています。 これは、唯一の正解というよりは、いろいろとあってよいと思います。#清史弘からの提案 pic.twitter.com/UokREtslQt— 清 史弘 (@f_sei) 2020年9月13日 上のツイートによると、今回の積分は という変数変換がキーになるようですが、いったいどこからこの式が現れたのか説明せよ、というのが問題です。 清さんのツイートの引用リツイートに、
Generative Language Modeling for Automated Theorem Proving
We explore the application of transformer-based language models to automated theorem proving. This work is motivated by the possibility that a major limitation of automated theorem provers compared to humans -- the generation of original mathematical terms -- might be addressable via generation from language models. We present an automated prover and proof assistant, GPT-f, for the Metamath formal
ミレニアム問題「BSD予想」の主張を1から理解したい！（ざっくり編） - tsujimotterのノートブック
ミレニアム問題 という言葉を聞いたことがあるでしょうか？ アメリカのクレイ研究所という数学の研究所によって2000年に発表された、数学における7つの未解決問題のことです。21世紀に解かれるべき重要な問題がリストアップされており、それぞれに 100万ドルの懸賞金 が掛けられたことで知られています。 有名なものだと リーマン予想 や ポアンカレ予想 があります。ポアンカレ予想だけは2003年に解決されていて、解決の際に大変話題になったのを覚えている人も多いかと思います。 ミレニアム問題の一覧をリストアップしてみましょう： ヤン–ミルズ方程式と質量ギャップ問題 リーマン予想 P≠NP予想 ナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさ- ホッジ予想 ポアンカレ予想 バーチ-スウィンナートン・ダイアー予想 今回紹介したいのは、リストの最後に挙げた バーチ-スウィンナートン・ダイアー予想 です。 バー
p進Newton法で平方数判定 - Qiita
浮動小数点数演算を使わずに高速に平方数を判定します。 (実装例はRustですがC++でも書けると思います) use std::num::Wrapping; pub fn is_square(x: u64) -> bool { let xtz = x.trailing_zeros(); if x == 0 { return true; } else if xtz & 1 != 0 { return false; } let x = Wrapping(x >> xtz); let mut y = Wrapping(1_u64); for _ in 0..5 { y = ((Wrapping(3_u64) - y * y * x) * y) >> 1; } let mut xrt = x * y; if xrt.0 & (1 << 32) != 0 { xrt = -xrt; } let xrt
n⁵+5 と (n+1)⁵+5 の最大公約数 - 現実と数学の区別が付かない
Twitterで見かけた答えが意外過ぎる問題． 多項式の公約数と言えば、昔どこかに投稿したんだけど、nが自然数の時の n^5+5 と (n+1)^5+5 の正の公約数としてあり得る整数が、おそらく見た目からは予想できない結果で、面白い。— nishimura (@icqk3) 2020年8月10日 自然数 の最大公約数 (greatest common divisor) を で表します． を自然数とする． を求めよ． この手の問題は，小さい で試してみるのが常套手段です． くらいまで試してみると，すべて となります．その後， を 1万，10万と増やしていっても，ずっと gcd は のままです．こうなると，はいはいパターン見えてきたよと であると予想を立て，数学的帰納法で証明しようという気になります．しかしこれはうまくいきません．実は のときは なのに， で急に\begin{align}\m
調和代数幾何解析(調和解析と不変式論) -
GoodmanとWallachの本 Symmetry, Representations, and Invariants https://www.amazon.co.jp/dp/1441927298 の12章を眺めていて、ふと、ここに書いてあるのは、調和解析+代数幾何 = 調和代数幾何解析だなぁと思った(勝手に命名)。まぁ、この本の範囲では、"解析学"は、全然出てこないのだけど 【参考文献】同じく、GoodmanとWallachの本 Representations and Invariants of the Classical Groups https://www.amazon.co.jp/Representations-Invariants-Encyclopedia-Mathematics-Applications/dp/0521663482 の12章あたりにも同等の内容があるっぽい。以下
音階の数学｜じーくどらむす
私の大好きな数学者の名言で、「音楽は感性の数学であり、数学は理性の音楽である」という言葉があります。 数を原理とするピタゴラス教団がピタゴラス音律を作り出し、そこから純正律という整数比率によるハーモニーを重視した音律が作られたことからも、音楽と数学の関係性は深いと言えるでしょう。 しかし、 実際に数学を多少わかって、音楽を多少嗜んでいる方であれば、音楽で使われる様々な単位への違和感を感じたことがあるのではないでしょうか。 とにかく既存の音楽理論や音楽文化が、「12音種」「7幹音」「5線譜」「1から数える」すべてが噛み合っていない感じがすごい。この噛み合ってない上で究極の覚えゲーを重ねがけして理論作り上げてんのヤバい。 — じーくどらむす/岩本翔 (@geekdrums) July 12, 2020 音楽を取り巻く数への違和感まずこの「12音階」（ド～シまで、＃、♭も含めた1オクターブ以内の
量子コンピュータに破れない暗号はつくれるか？ 【近刊紹介】縫田光司 著『耐量子計算機暗号』｜森北出版
新刊、『耐量子計算機暗号』（2020年8月上旬発行）の発行に先立ち、著者の縫田光司先生による本書の紹介文と、「まえがき」を公開します。 ＊＊＊ 『耐量子計算機暗号』の紹介 記：縫田光司（東京大学准教授） 現代の高度情報化社会を支える基盤であるインターネットなどの情報通信技術を、安全性の面でさらに下支えしている技術の一つが「公開鍵暗号」です。一方で、従来の計算機（コンピュータ）とは異なる物理原理により高速な計算を行う「量子計算機」の研究開発が、近年特に勢いを増しています。両者は一見すると関連が薄そうに思えるかもしれませんが、実は、量子計算機の大規模化によって公開鍵暗号の安全性が脅かされる、という悩ましい関係があります。 より詳しくは、現在の主要な公開鍵暗号（RSA暗号と楕円曲線暗号）の安全性評価の際に「この問題は計算機でも解くのが非常に難しいであろう」と前提としていた問題が、量子計算機にとっ
AIにおける「次元の呪い」解決へ、富士通研が機械学習の最有力学会で発表
富士通研究所は2020年7月13日、ディープラーニング（深層学習）における教師なし学習の精度を大幅に向上できる人工知能（AI）技術「DeepTwin」を発表した。AI分野の長年の課題だった「次元の呪い」を、映像圧縮技術の知見を活用することで解決したとする。同社は論文を機械学習の最有力学会である「ICML 2020」で7月14日に発表する。 「次元の呪い」とは、データの次元（要素数）が大きくなると、そのデータを分析する際の計算量が指数関数的に増大する現象を指す。次元の呪いを回避するため、一般的に機械学習の高次元データは次元を減らす。 ただ従来の手法には、次元の削減に伴ってデータの分布や確率が不正確になる課題があり、それがAIの精度低下を招く一因になっていた。例えば分布や確率が実際と異なると、正常データを異常と誤判定してしまうような間違いを引き起こしてしまう。 富士通研究所は今回、ディープラー
虚数乗法の具体例をもっと計算してみよう（類数1の場合） - tsujimotterのノートブック
今週は、虚数乗法 をテーマとする記事を２本公開しました！ tsujimotter.hatenablog.com tsujimotter.hatenablog.com おかげさまでたくさんの方々に見ていただき、たくさん反響もありました。 虚数乗法は、tsujimotterがこれまで時間をかけて勉強してきたテーマの一つなので、その魅力を伝えることができて大変うれしく思います。 シリーズ前編・後編の記事を通して、 というただ１つの楕円曲線の例を扱ってきましたが、書き終わってみて もっとたくさんの具体例で計算してみたい と思うようになりました。欲張りですね。笑 そんなわけで、今回はたくさんの具体例を計算してみようという記事にしようと思います。 ところで、前回の記事では言及し忘れていたのですが、そもそも 虚数乗法を持つ楕円曲線はレア なのです。適当にやっても簡単には見つからないわけですね。 そこで、
THE MATH(S) FIX
芥川龍之介が「蜘蛛の糸」を発表して百年。高二の秋の文化祭，クラスの仮装行列のテーマが 蜘蛛の糸だった。お釈迦様の極楽タワーの竹を近所から切り出し，地獄の焔と煙の絵を描いた。犍陀多に続いて蜘蛛の糸（登山部の赤いザイル）に群がる地獄の亡者だったころ。
Penrose: from mathematical notation to beautiful diagrams
by Katherine Ye1, Wode Ni1, Max Krieger1, Dor Ma'ayan1, 2, Jenna Wise1, Jonathan Aldrich1, Joshua Sunshine1, and Keenan Crane1 1Carnegie Mellon University, 2Technion appearing in SIGGRAPH 2020 Talk Teaser video Abstract We introduce a system called Penrose for creating mathematical diagrams. Its basic functionality is to translate abstract statements written in familiar math-like notation into one
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