三体問題が解けないことを証明したのは誰？…ポアンカレはいったい何を証明したのか 三体から生まれた「カオス」の発見 ポアンカレは「三体問題が解けないことを証明した」といわれます。しかし、「二体問題」の一般解を求める方法（「求積法」）では、「三体問題」の一般解を求めることができないということは1887年にドイツの天文学者ハインリヒ・ブルンスによって証明されていました。それではいったい、ポアンカレは何を証明したのでしょうか？ 浅田秀樹さんの著書『三体問題』から、ポアンカレが証明した驚くべき事実をご紹介します。 ポアンカレの登場 ブルンスによる証明がなされた2年後の1889年、スウェーデン国王兼ノルウェー国王のオスカル2世の60歳の誕生日を祝うために、数学に関する懸賞問題が公表されました。 このオスカル2世の懸賞問題とは、厳密な数学的な定義・用語を避けて筆者なりに意訳すればおおよそ以下のようなもの

はじめに ウェーブレット変換を考える動機 周波数解析 時間周波数解析 周波数解析の限界 短時間フーリエ変換 不確定性関係 時間と周波数のどちらを立てるのか ウェーブレット変換 ウェーブレット変換のモチベーション１ ウェーブレット変換のモチベーション２ ハールウェーブレット マザーウェーブレットから生まれる基底たち 基底を足し算していろんな波形を作る 逆ウェーブレット変換から見る とは ウェーブレット変換 ウェーブレット変換を更に詳しく 基底について 基底の選び方で結果が変わる 基底の性質の差異 利用方法や得意領域 非定常な波形の時間周波数解析 不確定性関係のバランス取り ある程度性質が分かっている場合の異常検知 ノイズの除去 最後に はじめに ウェーブレット変換は、生まれながらにしての時間周波数解析手法であり、短時間フーリエ変換などに変わる解析手法として使われています。今回はウェーブレット

関数解析 関数解析の基本事項、及びいくつかの応用に関して記載したマイノートです。今後も随時追加予定です。 目次 [Contents] 概要 位相空間 ハウスドルフ空間 線形空間（ベクトル空間） 張る（生成する） 線形独立（一次独立）と線形従属（一次従属） 線形独立（一次独立）と線形従属（一次従属）の幾何学的イメージ 基底ベクトル ベクトルの次元 【補足（外部リンク）】固有値 [eigenvalue]、固有ベクトル [eigenvector]) 【補足（外部リンク）】行列の対角化 [diagonalization] 【補足（外部リンク）】対角化可能な条件 【補足（外部リンク）】なぜ対角化するのか？ 【補足（外部リンク）】直交行列 [orthogonal matrix] と実対称行列 [symmetric matrix] 【補足（外部リンク）】エルミート行列 [Hermitian matrix

フーリエ解析 フーリエ解析に関しての基本事項を記載したマイノートです。 目次 [Contents] 概要 フーリエ級数展開 フーリエ係数の意味 フーリエ級数の収束性 複素フーリエ級数 直交級数としてのフーリエ級数（関数解析視点でのフーリエ級数） 関数同士の直交（直交関数系） 直交級数（一般化フーリエ級数） 完全な直交関数系 ルジャンドル多項式 最適な直交級数の選択 フーリエ変換 フーリエ変換は何を表しているか フーリエ変換出来る関数と出来ない関数 フーリエ変換の計算 微分・積分した関数のフーリエ変換 合成積（畳み込み）、積のフーリエ変換とパーシバルの等式 ガウス関数のフーリエ変換 偏微分方程式への応用 一定の長さのリング状の棒での熱伝導方程式 無限に長い棒での熱伝導方程式 線形の偏微分方程式への応用 エネルギースペクトル、パワースペクトルへの応用 離散的エネルギースペクトル 連続的エネルギ

数学ガール「ポアンカレ予想」を読んでいて（あまり本題に関係なく）感動したのが、不定積分 についてです。 の不定積分は、原始関数 を用いて以下のように表せます。 ここで、 は積分定数です。 高校の時からずっと機械的に（もしくはおまじない的に） 「 は積分定数である」 と書いてきたわけですが、この積分定数とは一体何か、というのが今回の主題です。 考えを進めていったら、昨日ブログで書いたド・ラームコホモロジーも出てきてびっくり。よかったら最後まで御覧ください。 昨日の記事： tsujimotter.hatenablog.com 線形微分方程式の解空間 まず、元の不定積分は、微分を使って以下のように書き換えることができます。 「これは微分方程式である」というのが、最も重要な視点の変換です。そういえば、これを微分方程式とみて考えたことは今までの人生の中で一度もありませんでした。冒頭の数学ガールを読ん

今日考えたいのは、 や というタイプの積分です。 いわゆる無理関数の積分と呼ばれるもので、大学受験でも難関大学の問題として登場するみたいですね。 今回の記事のきっかけとなったのは、清さんによる以下のツイートです： 【清史弘からの提案 7 】 教育系YouTuber の人に向けて、このような動画はどうですか? という内容です。もちろん、YouTuber でない方もご参加ください。 私の考え方は24時間以内にあげようと思っています。 これは、唯一の正解というよりは、いろいろとあってよいと思います。#清史弘からの提案 pic.twitter.com/UokREtslQt— 清　史弘 (@f_sei) 2020年9月13日 上のツイートによると、今回の積分は という変数変換がキーになるようですが、いったいどこからこの式が現れたのか説明せよ、というのが問題です。 清さんのツイートの引用リツイートに、

Twitterで数学に関するこんな話が話題になっていました。 √-2×√-8計算する時に√16にしたらいけんのなんで？— 愛華 (@sakubunkake) 2020年7月9日 もう少しツイートの内容を補足してみましょう。 というのは、虚数単位 を用いて として定義されます。よって を用いて が成り立ちます。 一方、 には積に関して なる法則が成り立つはずです。 ところが、この法則を適用すると となってしまいます。 すなわち、計算方法によって結果が になったり になったり、異なってしまっています。これは何かがおかしい。一体、どこがおかしいのだ？ というのが、上のツイートが問題にしている点です。 私はこのツイートを見て、これは モノドロミー の問題だ！ と直感しました。これは面白そうだと。 そこで、以前書いたこの記事 tsujimotter.hatenablog.com を思い出しながら、自

今日のテーマは 「リーマンの再配列定理」 です。「条件収束する実数列の級数は、再配列によって任意の実数に収束させることができる」という主張です。何を言っているかわからないという方にも、これから詳しくは説明していきますのでご安心ください。 無限級数 が絶対収束するとは、各数列に絶対値をつけた が収束するということです。名前の通りですね。 対する条件収束とは、無限級数が絶対収束はしないが収束はすることを言います。 たとえば、平方数の逆数の和 は絶対収束しますが、自然数の逆数を足し引きする級数（交代級数） は条件収束します。後者が条件収束であることは、たとえばこちらの記事の最後に紹介されています： mathtrain.jp 「なぜ絶対収束か条件収束を気にするのか」と疑問に思った方もいるかもしれませんが、それにはワケがあります。 絶対収束する級数は、足し合わせる順番に関わらず同じ値に収束します。つ

おはようございますまたはこんにちはまたはこんばんは，カイヤンです． 本記事はIQ1 Advent Calendar 2019（主催者 id:chakku000 ）における12月9日の記事です． 参考：IQ1 Advent Calendar 2018 2018/12/11の拙著記事「IQが1のデータ分析：respects いつも何度でも尋ねられること」 おことわり 今回は，ベイズ推論の特異学習理論（Watanabe理論，W理論）についての記事です．IQ1なので数学的に厳密な書き方でないどころか数式が登場しませんのでご了承ください． また，IQ1なために各論文を肯定的に読んでいます（理論が中心の紹介ですが一部の数値実験についても）．クリティカルリーディング要素はありません．申し訳ありません． よりおことわりらしいおことわりはIQ1AdCの雰囲気をぶち壊すので折り畳みます． IQ1AdCそのもの

「情報幾何の新展開」という本が話題になっています。 http://www.saiensu.co.jp/?page=book_details&ISBN=ISBN4910054700848&YEAR=2014 別冊数理科学 情報幾何学の新展開 2014年 08月号 [雑誌] 出版社/メーカー: サイエンス社発売日: 2014/08/22メディア: 雑誌この商品を含むブログを見る 著者は情報幾何という学問分野を創始したともいえる甘利俊一先生です。 本書においては今までの分野の総括のみならず機械学習の理論や応用の進展を受けた今後の発展の方向を示しているような非常に野心的であおられているような書き方であったので、非常に簡単ではあり、また理解が不足している部分がありますが感想をまとめます。 ４部構成になっていて、第I部、第II部は情報幾何を理解する為の基礎となる数学についての解説で、第III部は統計的

オミータです。ツイッターで人工知能のことや他媒体で書いている記事など を紹介していますので、人工知能のことをもっと知りたい方などは気軽に@omiita_atiimoをフォローしてください！ 深層学習を知るにあたって、最適化アルゴリズム(Optimizer)の理解は避けて通れません。 ただ最適化アルゴリズムを理解しようとすると数式が出て来てしかも勾配降下法やらモーメンタムやらAdamやら、種類が多くあり複雑に見えてしまいます。 実は、これらが作られたのにはしっかりとした流れがあり、それを理解すれば 簡単に最適化アルゴリズムを理解することができます 。 ここではそもそもの最適化アルゴリズムと損失関数の意味から入り、最急降下法から最適化アルゴリズムの大定番のAdamそして二階微分のニュートン法まで順を追って 図をふんだんに使いながら丁寧に解説 していきます。 それでは早速最適化アルゴリズムとは何

複素変数の場合を中心とする約9000個のグラフ・アニメーションによる視覚化、数学への興味が湧く不思議な公式・話題、Mathematicaによるプログラミング例、etc.… New & Modified（古い画像が表示されるとき → 対処法） ① Wigner のD関数の新規追加 (2023年9月7日) Gallery Riemann 球面上の Galois 的有理関数 この関数は、楕円型非 Euclid 平面 (Riemann 球面) 上の保型関数である。絶対値は逆双曲線正弦的、彩色は初代 iMac 風。 複素変数の Legendre 多項式 (実部) の重ね合わせ 実軸上の断面にある Legendre 多項式を虚数方向に延長する。 第2種楕円積分 (Legendre - Jacobi の標準形) の逆関数 楕円関数と同様に二重周期関数であるが、一価ではなく無限多価関数となる。(→ 第2種

こんにちは。高橋 和音 (Kazune Takahashi) と申します。現在は、東京大学大学院 数理科学研究科で特任研究員をしております。この記事では、変分法の概説を試みます。変分法は、微分方程式を考察する代表的な手法です。自己紹介がわりに、どうして変分法を専門にしたのかまず話したいと思います。 私は、大学の数学を勉強し始めてから、積分の世界の素晴らしさに魅了されました。 高校までですと、積分は原始関数を介して求めます。ところが、大学以降に勉強する高度な手法を使うと、例えば原始関数が書けない関数の定積分の正確な値が求まるケースがあります。また、正確な値を求めることができずとも、ある値よりも小さい or 大きいことが分かることが重要である場面も増えてきます。そういう一連の手法が好きになりました。 以下で「汎関数」が出てきますが、変分法で使う汎関数は、関数の積分で書かれます。変分法は、積分を

古典力学の運動方程式には、３つの表現形式があります。 ニュートン、ラグランジュ、ハミルトン。 ニュートンのものが一番の基本で、最もシンプルです。 後の２つは解析力学と呼ばれる分野に登場します。 もとになる物理法則は１つなのですから、この３つは表現形式が違うだけで、本質的な中身は同じです。 ならば、運動方程式は１つで充分に思えるのですが、なぜわざわざ３つも用意したのでしょうか。 最大の理由は、ぶっちゃけ「量子力学のため」だと思います。 ラグランジュ形式、ハミルトン形式は、古典力学から離れて、量子力学にも適用されています。 なので、これがわからないと、量子力学で挫折することになる。。。 もちろん解析力学が作られた当初は、量子力学が目的だったわけではありません。 まずラグランジュ形式ですが、これは「最も効率の良い経路を見出す」といった目的に最適化されています。 * ラグランジアンに意味は無い >

■ フィボナッチ数列の行列表示 フィボナッチ数列とは、1, 1 から出発して、 1+1=2、1+2=3、2+3=5、3+5=8 のように、 ２つの数字を次々と足し合わせてできる数列のこと。 ※ 0, 1 から出発して、0+1=1、1+1=2、としても、その先は同じになる。 フィボナッチ数列を Fn という記号で表せば、 F1 = F2 = 1, Fn+2 = Fn+1 + Fn　　(n = 1, 2, 3, ･･･) 驚きなのは、このフィボナッチ数列の一般項（ｎ番目の数字）が という式になることだ。 なぜこうなるかは、ググれば出てくると思うので、ここでは少し趣を変えて「行列」という見方をしてみよう。 平面上の (a, b) という点を、(b, a + b) という点に移す２×２行列を考える。 この変換行列をＡと名付けておこう。 行列Ａで、点(1, 1) からスタートして次々に変換を繰り返せ

『さらっと言うと、要は、選択公理を認めると f(mn)=f(m)+f(n) を満たす不連続関数が作れてしまう。』 以下にあった、気になる数学ネタ。 * PRMLガール 〜 文芸部のマネージャーが「パターン認識と機械学習」を読んだら >> http://d.hatena.ne.jp/n_shuyo/20130117/prml このブログ記事には書籍版があって、「あとがきがわりのＡＣガール」にもう少し詳しい解説があります。 PRMLガール―文芸部のマネージャーが「パターン認識と機械学習」を 作者: 中谷秀洋出版社/メーカー: 暗黒通信団発売日: 2013/09メディア: 単行本この商品を含むブログ (4件) を見る 当初は「何のこっちゃ？」と思っていたのですが、最近ようやく意味が分かってきたので、以下につらつらと書いてみます。 （PRMLガールでは対数について書かれていましたが、ここでは指数に